Teorema Bayes dan konsep peluang statistika

A . TEOREMA BAYES

Oleh Reverend Thomas Bayes abad ke 18.

Dikembangkan secara luas dalam statistik inferensia.

Aplikasi banyak untuk : DSS dan Rehability

ILUSTRASI

Sebuah perkantoran biasanya membutuhkan tenaga listrik yang cukup agar semua aktifitas pekerjaannya terjamin dari adanya pemutusan aliran listrik.Terdapat dua sumber listrik yg digunakan PLN dan Generator. Bila listrik PLN padam maka secara otomatis generator akan menyala dan memberikan aliran listrik untuk seluruh perkantoran. Masalah yang selama ini menganggu adalah ketidakstabilan arus(voltage)listrik, baik dari PLN maupun generaor, yang akan merusak peralatan listrik.Selama beberapa tahun terakhir, diketahui bahwa probabilitas terjadinya listrik padam adalah 0.1, dgn kata lain peluang bahwa perkantoran itu menggunakan listrik PLN adalah 0.9 dan peluang menggunakan generatoradalah 0.1.Peluang terjadi ketidakstabilan pada arus listrik PLN maupun generator masing-masing 0.2 dan 0.3.

Permasalahan ini dapat diilustrasikan sbb:

E       : Peristiwa listrik PLN digunakan

Ec     : Peristiwa listrik Generator digunakan

 A     : Peristiwa terjadinya ketidak stabilan arus

Sehingga :

Peristiwa A dapat ditulis sebagai gabungan dua kejadian yang saling lepas

          E ∩ A dan  Ec ∩  A    Jadi:  

A = (E ∩ A) U (Ec ∩ A) dengan menggunakan probabilitas bersyarat maka :

P(A) = P[(E ∩ A)U(Ec∩ A)]

          = P(E ∩ A) U P(Ec ∩ A)

          = P(E ∩ A) + P(Ec ∩ A)M

          = P(E)P(A/E)+P(Ec) P(A|Ec)

Maka :

Diketahui:

P(E)=0.9 P(E’)=0.1

P(A|E)=0.2 P(A|E’)=0/3

Shg:

P(A)=P(E).P(A|E)+P(E’).P(A|E’)

=(0.9).(0.2)+(0.2).(0.3)

=0.21

Kembali pada permasalahan diatas, bila suatu saat diketahui terjadi ketidakstabilan arus listrik, maka berapakah probabilitas saat itu aliran listrik berasal dari generator? Dengan menggunakan rumus probalilitas bersyarat diperoleh:

P(E’|A)=P(E’∩A)/P(A)

            =P(E’).P(A|E’)/P(A)

            =0.03/0.21=0/143

Secara Umum :

Peristiwa B1,B2,….,Bk merupakan suatu sekatan(partisi) dari ruang sampel S dengan P(Bi)≠0 untuk i=1,2,…,k maka setiap peristiwa A anggota S berlaku:

Jadi teorema bayes digunakan bila ingin diketahui probabilitas P(B1|A),P(B2|A)….,P(Bk|A) dengan rumus sebagai berikut :

Http://kangedi.lecturer.pens.ac.id/materi%20kuliah/matakuliah%20statistik/Teorema%20Bayes.ppt   

B. KONSEP PELUANG STATISTIKA

Percobaan (experiment) _ hasil (outcome) _ kejadian

(event) _ ruang contoh (sample space)

Definisi 1.1 (Ruang Contoh) :

Himpunan dari semua kemungkinan hasil (outcome) dariN suatu percobaan disebut ruang contoh (sample space), dinotasikan dengan S

Ilustrasi 1.1.

Jika kita melempar sebuah dadu sisi enam, maka ruang

contoh S adalah suatu himpunan yang memiliki 6 unsur :

yaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ilustrasi 1.2.

Perhatikan pelemparan dua dadu sisi enam, ruang contoh

yang mungkin adalah S = {(1,1), (1,2), (1,3), …, (6,6)}.

Dalam hal ini (i, j) berarti : i = mata dadu pertama, dan

j = mata dadu kedua yang muncul.

Ruang contoh bersifat tidak unik, tergantung dari cara pandang, keperluan, tujuan percobaan atau permasalahan. 

Perhatikan untuk ilustrasi 1.2 di atas, jika kita tertarik pada jumlah kedua mata dadu yang muncul, maka S = {2,3, 4, …, 12}.

Definisi 1.2 (Kejadian) :

Kejadian (event) adalah himpunan bagian dari ruang

contoh.

Definisi 1.3. (Medan- σ) :

Medan-σ / Medan-Borel adalah suatu himpunan β yang anggotanya adalah kejadian-kejadian dalam ruang contoh S (kejadian) yang memenuhi tiga syarat berikut :

(i) ∅ ∈ β

(ii) Jika A ∈ β maka AC ∈ β

(iii) Jika A1, A2, … ∈ β maka A1 ∪ A2 ∪ … ∈ β

Ilustrasi medan- σ :

β = {∅, S}

Definisi 1.4. (Ukuran Peluang) :

Ukuran peluang P adalah suatu fungsi dari medan- σ ke selang tertutup [0, 1] (P : β _ [0, 1]) yang memenuhi tiga syarat berikut:

(i) P(A) ≥ 0, untuk setiap A ∈ β

(ii) P(S) = 1

(iIi) Jika A1, A2, … ∈ β adalah himpunan yang saling

lepas, yaitu Ai ∩ Aj = ∅ untuk setiap pasangan i,j

dengan i ≠ j, maka 

Teorema 1.1:

Misalkan A dan B adalah kejadian dalam ruang contoh S

dan AC menyatakan komplemen dari A, maka

(a) P(AC) = 1 - P(A)

(b) Jika A ⊆ B maka P(A) ≤ P(B)

(c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

Bukti (a) : Perhatikan bahwa A ∪ AC = S dan A ∩ AC = ∅.

Karena A dan AC saling lepas, maka

P(A ∪ AC) = P(A) + P(AC) = 1

Jadi P(AC) = 1 – P(A)

Peluang Bersyarat

Definisi 1.5. (Peluang Besyarat) :

Peluang kejadian A dengan syarat bahwa kejadian B telah diketahui terjadi  asal P(B) > 0

Teorema 1.2 :

a. Untuk sembarang kejadian A dan B berlaku

P(A) = P(B) P(A|B) + P(BC) P(A|BC), asal 0 < P(B) < 1

b. Secara umum misalkan ada B1, B2, …, Bn adalah

partisi yang bersifat saling lepas dari S, maka

Kejadian Bebas

Jika A adalah suatu kejadian, maka adanya keterangan tentang suatu kejadian lain, misal kejadian B, dapat memperkecil atau memperbesar atau tidak mengubah besarnya peluang kejadian A. Jika besarnya peluang kejadian A tidak berubah karena adanya keterangan bahwa kejadian B telah terjadi, maka A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas

Definisi 1.6. (Kejadian Saling Bebas) :

Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas

jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Teorema 1.3 :

Jika A dan B adalah dua kejadian bebas, maka

a. A dan BC juga dua kejadian bebas

b. AC dan B juga dua kejadian bebas

c. AC dan BC juga dua kejadian bebas

Bukti (a) :

Akan ditunjukkan bahwa P(A ∩ BC) = P(A) P(BC).

Karena A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ BC) dan (A ∩ B) ∩ (A ∩ BC) = ∅

maka P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ BC)

Jadi P(A ∩ BC) = P(A) - P(A ∩ B)

= P(A) - P(A) P(B)

= P(A) (1 – P(B))

= P(A) P(BC)

Jika kejadian A dan B bebas, maka kejadian bersyaratnya

tidak merubah nilai peluang

asal P(B) > 0

asal P(A) > 0

Sumber :

Web.ipb.ac.id